On entend beaucoup parler de la croissance exponentielle du virus covid. En pratique, un virus suit n fait davantage une courbe "en S" qu'une véritable exponentielle.
En effet, si l'on note y(t) le nombre de personnes atteintes par le virus au jour t, la variation dy de y(t) entre T et T+1 vérifie l'équation suivante:
dy=k*y(T)*(P-y(T))=ay(T)-by(T)^2 avec a=kP et b=-k
En effet l'augmentation du nombre de cas par jour (dv) est proportionnel au nombre de rencontres entre la population atteinte y(T) et la population saine P-y(T), P étant la population totale. Ce nombre de rencontres étant égal à y(T).(K-y(T))/2, on trouve facilement l'équation ci-dessus.
Si l'on cherche à résoudre cette équation (voir ici :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%28t%29%3Da*y%28t%29-b*y%28t%29%5E2&fbclid=IwAR0pW9HslYv0l5ppcn32H4FY-GHeBfyDCGSyrejk6iph0j259pLIoug1lBo), on peut démontrer que la fonction y(t) est de la forme suivante:
y(t) est donc effectivement très proche d'une exponentielle tant que la population cible n'est pas suffisamment touchée. Mais plus il y a de personnes touchées, plus la courbe ralentit et "plafonne" - c'est la fameuse "immunité collective", que l'on observe sur une courbe en S mais pas sur une courbe exponentielles...
En effet, si l'on note y(t) le nombre de personnes atteintes par le virus au jour t, la variation dy de y(t) entre T et T+1 vérifie l'équation suivante:
dy=k*y(T)*(P-y(T))=ay(T)-by(T)^2 avec a=kP et b=-k
En effet l'augmentation du nombre de cas par jour (dv) est proportionnel au nombre de rencontres entre la population atteinte y(T) et la population saine P-y(T), P étant la population totale. Ce nombre de rencontres étant égal à y(T).(K-y(T))/2, on trouve facilement l'équation ci-dessus.
Si l'on cherche à résoudre cette équation (voir ici :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%28t%29%3Da*y%28t%29-b*y%28t%29%5E2&fbclid=IwAR0pW9HslYv0l5ppcn32H4FY-GHeBfyDCGSyrejk6iph0j259pLIoug1lBo), on peut démontrer que la fonction y(t) est de la forme suivante:
y(t) est donc effectivement très proche d'une exponentielle tant que la population cible n'est pas suffisamment touchée. Mais plus il y a de personnes touchées, plus la courbe ralentit et "plafonne" - c'est la fameuse "immunité collective", que l'on observe sur une courbe en S mais pas sur une courbe exponentielles...
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